A Monografia do Dr. Professor Carlos Alexandre Wuensche

Paulo André 6/10/2009, 13:23

Caros Foristas, mais uma vez o Mestre Holbein Menezes nos supreendeu, desta vez com uma tese sobre Física e Musica, iremos colocar a monografia do Dr. Professor Carlos Alexandre Wuensche, da Divisão de Astrofísica do Instituto de Pesquisas Espaciais (INPE), do Brasil, que nos deu autorização para "...a veiculação do trabalho sobre Fïsica e Música nos seus sites. (Palavras dele).

A tese vai consistir nos seguintes capitulos e só será colocado um semanalmente.

1 - Introdução
2 - Produção do som
3 - Descrevendo cientificamente um som
4 - Freqüências naturais, harmônicos e sobretons
5 - Criando uma nota musical
6 - Propriedades físicas do som
7 - Como percebemos a mistura de sons
8 - A análise dos sons musicais
9 - Intervalos e raiz harmônica
10 - As escalas musicais
11 - Instrumentos musicais e suas características físicas
12 - Conclusão

Itajubá – Julho de 1998

Carlos Alexandre Wuensche
Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE) - Divisão de Astrofísica

1 - Introdução

Quando falamos de som e música, raramente pensamos em física e na análise científica necessária para entender a propagação do som e suas nuanças, nas propriedades do som e nos detalhes ligados ao processo que antecede a apreciação da arte musical. Esta monografia apresenta a parte da Física ligada ao processo da produção e análise dos sons, em particular os musicais: a Acústica.
A ligação da música com a ciência - em outras palavras, a associação da estética musical à teoria dos números – remonta à Escola Pitagórica, no século VI a.C. O ponto de partida era a relação entre os comprimentos das cordas de uma lira e as notas musicais e a percepção que cordas mais curtas emitiam sons mais agudos .A partir daí foi desenvolvida toda uma teoria que relacionava comprimentos de cordas, escalas, intervalos, notas, números inteiros e frações. Em particular, a associação de uma fração a um dado intervalo musical mostrou-se um dos princípios mais fecundos da acústica e em cima dele montou-se praticamente toda a teoria da música ocidental. A relação entre a Física e a Música começou a aparecer depois da teoria ondulatória, estabelecida nos sécs. XVII e XVIII, e sedimentou-se quando Jean Batiste Fourier criou a parte da Matemática que leva seu nome e que é utilizada na análise de qualquer fenômeno periódico. Falaremos a análise de Fourier em diversas partes dessa monografia.
Trataremos também da percepção do som a partir das suas propriedades físicas, que nos permite ouvir o som sem, necessariamente, estar na frente da fonte sonora. Como toda onda, o som sofre reflexão, é absorvido pelo meio em que se propaga, atenuado pelo atrito com as moléculas do meio e transmitido de um meio a outro. Usando essas ferramentas vamos então discutir os detalhes da produção do som nos diversos instrumentos musicais e entender o porque das peculiaridades sonoras de cada um deles e porque um som musical é diferente de um som qualquer produzido na natureza.

Paulo André 6/10/2009, 13:24

2 - Produção do som

O som é produzido ao criarmos algum tipo de mecanismo que altere a pressão do ar em nossa volta. Na verdade, para a produção do som, é mais importante a velocidade com que a pressão varia (o "gradiente da pressão") do que o seu valor absoluto. Por essa razão é que um balão cheio de ar não faz praticamente nenhum barulho ao deixarmos o ar sair de dentro dele naturalmente. Por outro lado, se o balão estourar (e o ar sair todo de uma vez), existe uma variação enorme da pressão e um ruído alto é produzido. Podemos então dizer que o som é produzido ao colocarmos uma quantidade (massa) de ar em movimento. É a variação da pressão sobre a massa de ar que causa os diferentes sons, dentre eles os que são combinados para criar a música. A vibração de determinados materiais é transmitida às moléculas de ar sob a forma de ondas sonoras. Percebemos o som porque as ondas no ar, causadas por essa variação de pressão, chegam aos nossos ouvidos e fazem o tímpano vibrar. As vibrações são transformadas em impulsos nervosos, levadas até o cérebro e lá codificadas.
A analogia entre a compressão e a rarefação do ar ao transmitir as ondas sonoras pode ser vista ao brincarmos com uma mola, facilmente encontrada em lojas de brinquedos infantis. O nosso problema agora é quantificar a produção do som a partir desta variação de pressão. Uma maneira interessante de se fazer isso é mostrar como, num tubo tampado, a modificação da pressão interna que acontece quando ele é destampado, produz um som característico. Esse som pode ser observado num osciloscópio e registrado no computador, caso ele possua uma placa de som e um microfone. Qualquer dos programas anexos à placa de som é capaz de gravar e reproduzir esse som.
Uma nota musical é um som cuja freqüência de vibração encontra-se dentro do intervalo perceptível pelo ouvido humano e a música é a combinação, sob as mais diversas formas, de uma seqüência de notas em diferentes intervalos. Entretanto, uma mesma nota emitida por diferentes fontes (ou instrumentos musicais) podem ter a mesma freqüência e ainda assim soar de maneira diferente para quem ouve. Atualmente o conhecimento dos princípios da acústica e a teoria da propagação das ondas é bastante bem conhecida e pode-se descrever com precisão todas as peculiaridades e características associadas aos fenômenos acústicos. A teoria matemática que descreve fenômenos ondulatórios foi desenvolvida por Jean Baptiste Fourier no início do século XIX. Ela afirma que qualquer onda pode ser decomposta em uma combinação de ondas primitivas, todas elas com a forma de uma senóide. Vamos discutir esses dois aspectos mais na frente.

Paulo André 13/10/2009, 21:16

3 - Descrevendo cientificamente um som

A forma de onda vista abaixo (Figura 1) possui a forma da função matemática conhecida como senóide. Podemos descrever completamente essa função em termos da sua amplitude, comprimento de onda e freqüência.

Y – Amplitude da onda
X - Deslocamento da onda

A Figura 1 vai nos ajudar a definir praticamente todas as grandezas de que necessitamos para descrever os sons durante o resto do texto. O comprimento de onda é a grandeza física que define o "tamanho do ciclo", ou seja, qual a distância percorrida por um ciclo de onda até que ele volte a se repetir. Na nossa figura, um comprimento de onda é a distância, no eixo horizontal, de 0 a 4, 4 a 8, 8 a 12 e assim por diante. Assim, dizemos que a nossa onda tem 4 unidades de comprimento de onda (que pode ser expresso em metros, centímetros ou qualquer outra unidade que você desejar). A amplitude é o afastamento da forma de onda da origem, na direção vertical Assim, a amplitude máxima na Figura 1 é de 10 unidades, quer para cima, quer para baixo. A freqüência descreve o número de vibrações por segundo, ou seja, quantos ciclos completos a onda percorre por segundo. A unidade que usaremos para descrever as freqüências é o Hertz (Hz). 1 Hz corresponde a um ciclo de vibração por segundo. Por exemplo, quando colocamos um diapasão em vibração, suas hastes vibrarão a uma freqüência de 440 Hz, ou 440 ciclos por segundo, correspondentes à nota musical Lá. Essa nota pode ser perfeitamente descrita pela sua freqüência (440 Hz), comprimento de onda (0,77 m) e uma amplitude que vai depender da energia utilizada para colocá-lo em vibração e que descreve a intensidade na variação de pressão.
Outra característica importante de uma onda, normalmente mencionada nos livros de Física de nível médio, é que ela transporta energia sem transportar matéria. Isso pode ser observado quando jogamos uma pedra numa piscina com água parada. Não há transporte das moléculas de água, mas observamos uma "perturbação" se propagando do ponto onde jogamos a pedra para todos os pontos na borda da piscina. Podemos ver que ela transporta energia, caso haja uma folha na superfície da água. Quando a perturbação passar pela folha, ela vai entrar em movimento (na direção vertical, atingindo o pico da onda, e depois descendo passando pelo "vale" da onda), voltando ao repouso depois da passagem.

musical - A Monografia do Dr. Professor Carlos Alexandre Wuensche Senoide

Figura 1 – Representação de uma função seno, com 3,5 ciclos e amplitude de ± 10 unidades.

Paulo André 23/10/2009, 23:25

4 - Frequências naturais, harmônicos e sobretons

Qualquer objeto ou corpo sólido, e mesmo as pequenas moléculas que formam os objetos macroscópicos, possuem uma certa vibração natural, uma "freqüência característica". Isso ocorre porque os átomos possuem uma energia de agitação, algo próprio da mecânica quântica que está associado à sua temperatura. Os físicos chamam essa energia de energia térmica. A combinação das freqüências de todos os átomos cria um "padrão de vibração" que caracteriza os corpos, sejam eles musicais ou não. Da mesma forma, todo corpo emite um padrão de radiação, conhecido como radiação de corpo negro, que só depende da temperatura.
Entretanto, as freqüências ligadas à música são criadas por um mecanismo diferente. É necessário "excitar", estimular um corpo, para que ele emita um som. Se colocarmos um diapasão em movimento (batendo com ele na borda de uma mesa, por exemplo), o movimento das suas hastes empurra e comprime o ar com a mesma freqüência com que elas vibram. No caso do diapasão, a freqüência natural de vibração é de 440 ciclos por segundo, ou 440 Hz. Ela depende, como você deve estar imaginando, do tipo de material que vibra: densidade, rigidez, a constituição molecular, forma e uma enorme variedade de fatores. Podemos exemplificar essa diferença se compararmos dois diapasões, feitos do mesmo material, com a mesma forma, mas com uma separação entre as hastes diferente. Eles vibrarão com freqüências diferentes; o que tiver menor separação entre as hastes vibrará mais rapidamente. Da mesma forma, se escolhermos outros dois com o mesmo material, forma e separação entre as hastes, mas com uma pequena diferença no comprimento das hastes, o que tem hastes mais longas vibrará mais lentamente.
Um outro exemplo de padrões de vibração característicos pode ser observado se demos uma pancada leve no tampo de um violão e no tampo da caixa de ressonância de um piano. É notável a diferença de som produzido, causado pela combinação dos fatores que mencionamos acima.
[size=12]A combinação desse padrão de vibração (a soma das diversas freqüências individuais) pode ser representada, genericamente, na forma descrita abaixo:

SOM = C₁ + C₂ + C₃ + C₄ + C₅ + C₆ + ...,

em que cada termo C_i corresponde a uma determinada freqüência, múltipla da freqüência do termo C₁. Chamamos essa série de "série harmônica" e cada termo da série é chamado de harmônico. Assim, o primeiro termo é o harmônico de ordem 0 (ou fundamental), o segundo, harmônico de primeira ordem, e assim sucessivamente.

C1+C2+C3=SOM

musical - A Monografia do Dr. Professor Carlos Alexandre Wuensche Ondacomp

musical - A Monografia do Dr. Professor Carlos Alexandre Wuensche Ondacomp

Figura 1 - Combinação dos diferente comprimentos de onda e frequências individuais para formar um padrão sonoro.

E os sobretons? Os sobretons são uma outra nomenclatura para nos referirmos aos termos da serie harmônica. Podemos defini-lo como uma componente de um som mais complexo que tem uma altura maior (ou que possui uma freqüência mais alta) que a componente fundamental daquele som. Assim, o termo fundamental é o TOM (fundamental) e os termos seguintes são os SOBRETONS (ou tons de freqüência superior ou componentes secundárias). O exemplo mais fácil de ser entendido pode ser visto ao decompormos uma nota musical; por exemplo, o Lá fundamental do piano (Lá₄) vibra a uma freqüência de 440 Hz. O segundo harmônico (primeiro sobretom) vibrará em 880 Hz, o terceiro (segundo sobretom) em 1760 Hz. A noção de tom, sobretom e harmônico é extremamente útil quando discutirmos a análise de um som musical.

Paulo André 4/11/2009, 19:28

5 - Criando uma nota musical

A música ocidental caracteriza-se por um conjunto definido de freqüências e os instrumentos musicais devem ser capazes de produzir essas freqüências e amortecer outras. Sistemas vibrantes ressonantes são excitados por essas freqüências que correspondem às freqüências de ressonância do sistema. A produção do som está associada à transferência de energia por um elemento excitador (por exemplo o arco de um violino) para o veículo produtor do som, seguida da colocação do ar em movimento e da sustentação da intensidade em níveis aceitáveis para que o som possa ser aproveitado em termos musicais. Podemos descrever um caso particular do violino, onde o arco é movimentado, provocando a vibração das cordas através do atrito entre a crina do arco e a superfície metálica da corda. Essa energia é transferida para o tampo através da ponte, colocando então o tampo e o ar contido dentro dele em vibração. A saída do ar se dá pelos "f" situados nos dois lados do tampo.
A seqüência de transferência pode ser imaginada da seguinte forma: um vibrador primário, unidimensional (a corda), transfere a energia para um vibrador secundário, bidimensional (o tampo), que causa a vibração do vibrador terciário, tridimensional (a massa de ar no interior da caixa acústica do instrumento).
Os instrumentos de sopro possuem dois sistemas: o primário, que é o par boca/coluna de ar, e o secundário, que são o conjunto de chaves diversas que modificam o tamanho da coluna de ar, fazendo assim com que diferentes freqüências sejam produzidas. A boca desempenha o papel de agente excitador (da mesma forma que os dedos, a palheta ou o arco no caso dos instrumentos de corda) e o elemento gerador da vibração é a própria coluna de ar. No caso particular da flauta doce, as chaves são os próprios dedos do instrumentista, mas o objetivo é sempre o mesmo: modificar o tamanho da coluna de ar para que o ar vibre em diferentes freqüências dentro do tubo.
Já os instrumentos de percussão são os mais simples, porque a própria membrana vibrante (couro ou materiais rígidos) transferem energia diretamente para o ar. Não é por outra razão que os instrumentos de percussão são os mais eficientes produtores de som. Novamente, o elemento excitador é a mão humana (ou algo empunhado pelo corpo humano) e a transferência ocorre diretamente do sistema bidimensional (a membrana vibrante) para o ar, sem nenhum tipo de interferência, exceto a própria mão humana que pode ser usada para abafar ou ressaltar algum tipo de som (é o caso da posição da mão de quem toca o pandeiro ou o tamborim).
Cada tipo de instrumento tem uma espécie de "assinatura", um conjunto de características sonoras associado que, embora possa parecer subjetivo, possui uma descrição matemática extremamente precisa. Na seção anterior comentamos que o som pode ser representado pela soma de diversas ondas individuais, que chamamos de componentes de Fourier. O que diferencia um instrumento de outro são as amplitudes e o tempo de duração de cada um dos harmônicos presentes no som resultante e o resultado acústico da combinação das duas propriedades tem o nome de timbre.

Paulo André 14/11/2009, 11:52

6 - Propriedades físicas do som

A percepção sonora de um ouvinte numa sala de concerto ou em um ambiente fechado não é só resultado da forma como o som é produzido no instrumento. Uma série de fenômenos ligados à teoria da produção de ondas influencia essa percepção de modo muitas vezes dramático. Por exemplo, podemos citar as tentativas muitas vezes frustradas de se fazer shows de bandas de rock em locais fechados como ginásios esportivos. Todos nós percebemos a interferência e uma espécie de "eco" com o qual os engenheiros de som sempre têm problemas. A percepção do som da banda é uma se estamos de frente para o palco, diferente se nos encontramos fora do "eixo" das caixas de som e ainda outro se estivermos do lado de fora do ginásio. Em todos esses casos, estaremos ouvindo a mesma banda, tocando a mesma música, mas algumas das propriedades ligadas à propagação das ondas afetam essa percepção. Os principais efeitos são a refração, a difração, a reflexão, a interferência e os efeitos de transmissão, absorção e dispersão das ondas.

A refração é a variação na direção da transmissão do som causada por uma variação espacial na velocidade de propagação do som no meio. No nosso caso, consideramos sempre o meio como sendo o ar. Notamos o efeito que a refração tem na propagação do som ao ligarmos um aparelho de som dentro de um quarto fechado e tentarmos ouvir o que está sendo tocado colando o ouvido na porta do quarto. A velocidade de propagação da onda na madeira da porta modifica a nossa percepção, fazendo com que, embora a característica principal da música se mantenha, alguns detalhes e freqüências sejam amortecidos ou ressaltados.

A difração é a mudança na direção da propagação da onda devido à passagem do som por um obstáculo qualquer. Isso permite que possamos ouvir o rádio num local da casa diferente de onde o rádio se encontra. É notável a relação entre o comprimento de onda, as dimensões do obstáculo e a difração. Quanto maior a razão entre os dois primeiros, maior é a difração.

musical - A Monografia do Dr. Professor Carlos Alexandre Wuensche Difr21

musical - A Monografia do Dr. Professor Carlos Alexandre Wuensche Difr21

A reflexão, observada quando existe o encontro de uma onda com uma superfície rígida, mantém as características da onda incidente e ocorre sempre que as dimensões da superfície rígida forem muito maiores do que o comprimento de onda. Um exemplo interessante de reflexão sonora é o eco, observado sempre que a onda incidente possui intensidade suficiente e permite um atraso suficiente para que a onda refletida seja percebida distintamente.

musical - A Monografia do Dr. Professor Carlos Alexandre Wuensche Reflexaodosom

musical - A Monografia do Dr. Professor Carlos Alexandre Wuensche Reflexaodosom

A absorção e a transmissão, de uma certa forma modificam as características da onda incidente. Tecnicamente, a absorção ocorre quando uma onda atinge um obstáculo qualquer e deposita parte de sua energia sonora ali, sendo refletida ou transmitida ou refratada com uma intensidade menor. A parcela de energia depositada normalmente é transformada em calor. A transmissão acontece em praticamente todos os refletores ou absorvedores de som, causando uma propagação da onda na superfície rígida que causou uma reflexão, por exemplo. Tecnicamente, os três últimos fenômenos mencionados ocorrem sempre que uma onda atinge uma superfície rígida

Paulo André 22/11/2009, 16:13

7 - Como percebemos a mistura de sons

Nosso ouvido é uma espécie de "sonar", um instrumento que gera uma corrente elétrica ao ser estimulado por qualquer tipo de onda sonora. Mas por que reagimos diferentemente a diferentes tipos de sons? A resposta está ligada à freqüência com que o tímpano é movimentado pela onda que entre no canal auditivo. Como mencionamos anteriormente, ele não reage somente à nota pura (fundamental)), mas também a todas as outras freqüências superiores que constituem aquele som. É interessante perceber as diferentes componentes de um mesmo som e um sintetizador capaz de produzir notas puras pode ser um valioso instrumento de auxílio no estudo desse problema.
Por exemplo, vamos tocar uma nota pura no sintetizador e vamos considerar essa nota como sendo a fundamental de freqüência f. Mantendo esse som, vamos tocar um outro simultaneamente, de freqüência 2f. Com um pouco de prática, podemos distinguir entre o primeiro e o segundo, mais alto, mesmo com ambos soando ao mesmo tempo. Mas será muito difícil diferenciar os dois se começarmos a tocar os dois ao mesmo tempo. O efeito é ainda mais impressionante se fizermos isso com as cinco primeiras componentes de uma série harmônica (f, 2f, 3f, 4 f, 5f). Tocamos em seqüência as 5 freqüências e um ouvido bem treinado é, por vezes, capaz, de separar uma freqüência individual entre elas. Se pararmos de tocar e iniciarmos novamente, só que desta vez tocando as cinco simultaneamente, passaremos então a ouvir um som complexo e será muito mais complicado "convencer" o nosso cérebro a ouvir somente uma das componentes daquele som.
A mesma idéia pode ser tentada com diferentes harmônicos (por exemplo, f + 3f + 5f, ou 4f + 5f + 6f); o resultado será bastante diferente em qualidade, mas será sempre mais simples separar os sons se eles forem iniciados em seqüência. Variações em amplitude também permitem um resultado sonoro interessantíssimo na qualidade do som resultante.
O osciloscópio pode mostrar a diferença nas combinações de som de diferentes instrumentos (mais simples de ser percebido) e mesmo em diferentes notas tocadas por um mesmo instrumento. Por exemplo, vemos na Figura 2 a notas Fá₃, Fá₄ e Fá₅tocadas num clarinete e ajustadas em velocidade e freqüência para que todas pareçam estar na mesma altura. Elas foram gravadas e colocadas em paralelo e a diferença é notável, mesmo depois do ajuste feito.

musical - A Monografia do Dr. Professor Carlos Alexandre Wuensche Clarinetediferentesfreq

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2 - Produção do som

3 - Descrevendo cientificamente um som

4 - Frequências naturais, harmônicos e sobretons

5 - Criando uma nota musical

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7 - Como percebemos a mistura de sons

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